Gleichungen und Ungleichungen

Exponential- und Logarithmusgleichungen

Steht x im Exponenten, schreibst du beide Seiten mit derselben Basis oder logarithmierst. Logarithmusgleichungen funktionieren umgekehrt.

Die Regeln

• Gleiche Basis: aˣ = aʸ heißt x = y. Schreib 8 als 2³, 27 als 3³ und so weiter.
• Sonst logarithmieren: aˣ = b ergibt x = log(b) / log(a).
• Summen von Potenzen: die kleinste Potenz ausklammern: 2ˣ⁺¹ + 2ˣ = 2ˣ(2 + 1).
• Logarithmusgleichungen: logₐ(x) = c ergibt x = aᶜ; das Argument muss positiv sein.

Übungsaufgaben mit Lösung

Erzeugt von derselben Aufgaben-Engine wie der Kollego-Kurs, ohne Taschenrechner lösbar. Überlege dir eine Antwort und öffne dann die Lösung.

1. 1. Lösen Sie nach x auf: 5ˣ = 25

   • a2
   • b1
   • c5
   • d3
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   Antwort: 2

   Schreiben Sie die rechte Seite als Potenz derselben Basis und vergleichen Sie die Exponenten.

   25 = 5², also x = 2.

2. 2. Lösen Sie nach x auf: 3ˣ = 243

   • a4
   • b6
   • c3
   • d5
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   Antwort: 5

   Schreiben Sie die rechte Seite als Potenz derselben Basis und vergleichen Sie die Exponenten.

   243 = 3⁵, also x = 5.

3. 3. Lösen Sie nach x auf: log₁₀(x) = 5

   • a100010
   • b100000
   • c50
   • d99990
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   Antwort: 100000

   logₐ(x) = e bedeutet x = aᵉ.

   x = 10⁵ = 100000.

4. 4. Lösen Sie nach x auf: log₂(x) = 4

   • a16
   • b14
   • c8
   • d18
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   Antwort: 16

   logₐ(x) = e bedeutet x = aᵉ.

   x = 2⁴ = 16.

5. 5. Lösen Sie nach x auf: log₁₀(x) = 3

   • a990
   • b1000
   • c30
   • d1010
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   Antwort: 1000

   logₐ(x) = e bedeutet x = aᵉ.

   x = 10³ = 1000.

6. 6. Lösen Sie nach x auf: log₃(x) = 5

   • a246
   • b240
   • c15
   • d243
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   Antwort: 243

   logₐ(x) = e bedeutet x = aᵉ.

   x = 3⁵ = 243.

Typische Fehler

• Jeden Summanden einzeln logarithmieren.
• Vergessen, dass aˣ immer positiv ist, aˣ = −4 hat also keine Lösung.
• Nicht prüfen, ob die Argumente der Logarithmen positiv bleiben.

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