Gleichungen und Ungleichungen

Polynomdivision

Die Polynomdivision funktioniert wie das schriftliche Dividieren mit Zahlen. München nennt sie für den Aufnahmetest im T-Kurs, und du brauchst sie, um eine Gleichung dritten Grades nach dem Raten einer Nullstelle zu lösen.

München Im Mathetest für den T-Kurs am Studienkolleg München genannt. Quelle

Die Regeln

• Den höchsten Term des Dividenden durch den höchsten Term des Divisors teilen.
• Den ganzen Divisor mit diesem Ergebnis multiplizieren und vom Dividenden abziehen.
• Den nächsten Term herunterholen und wiederholen, bis der Grad kleiner als der des Divisors ist.
• Fehlende Potenzen mit dem Koeffizienten null schreiben: x³ − 1 = x³ + 0x² + 0x − 1.

Übungsaufgaben mit Lösung

Erzeugt von derselben Aufgaben-Engine wie der Kollego-Kurs, ohne Taschenrechner lösbar. Überlege dir eine Antwort und öffne dann die Lösung.

1. 1. Dividiere x³ − 4x² + x − 30 durch (x − 5). Wie lautet der Koeffizient von x im Quotienten?

   • a1
   • b6
   • c0
   • d2
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   Antwort: 1

   Die Division geht auf, also gilt Dividend = Divisor × Quotient. Teilen Sie gliedweise (oder nutzen Sie das Horner-Schema mit r).

   x³ − 4x² + x − 30 = (x − 5)·(x² + x + 6), der Quotient ist also x² + x + 6.

2. 2. Dividiere x³ + 8x² + 15x + 5 durch (x + 2). Wie groß ist der Rest?

   • a-2
   • b0
   • c1
   • d-1
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   Antwort: -1

   Restsatz: Teilt man ein Polynom durch (x − r), bleibt der Rest P(r).

   Nach Konstruktion ist x³ + 8x² + 15x + 5 = (x + 2)·(x² + 6x + 3) − 1, der Rest ist also -1.

3. 3. Dividiere x³ − 19x + 12 durch (x − 4). Wie lautet der Koeffizient von x im Quotienten?

   • a-3
   • b4
   • c5
   • d3
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   Antwort: 4

   Die Division geht auf, also gilt Dividend = Divisor × Quotient. Teilen Sie gliedweise (oder nutzen Sie das Horner-Schema mit r).

   x³ − 19x + 12 = (x − 4)·(x² + 4x − 3), der Quotient ist also x² + 4x − 3.

4. 4. Dividiere x³ + 2x² + 3x − 3 durch (x − 1). Wie groß ist der Rest?

   • a3
   • b4
   • c2
   • d-3
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   Antwort: 3

   Restsatz: Teilt man ein Polynom durch (x − r), bleibt der Rest P(r).

   Nach Konstruktion ist x³ + 2x² + 3x − 3 = (x − 1)·(x² + 3x + 6) + 3, der Rest ist also 3.

5. 5. Dividiere x³ + 2x² − 18x − 22 durch (x − 4). Wie groß ist der Rest?

   • a-2
   • b1
   • c2
   • d3
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   Antwort: 2

   Restsatz: Teilt man ein Polynom durch (x − r), bleibt der Rest P(r).

   Nach Konstruktion ist x³ + 2x² − 18x − 22 = (x − 4)·(x² + 6x + 6) + 2, der Rest ist also 2.

6. 6. Dividiere x³ − 4x² + 6x − 3 durch (x − 1). Wie lautet der Koeffizient von x im Quotienten?

   • a-2
   • b-4
   • c-3
   • d3
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   Antwort: -3

   Die Division geht auf, also gilt Dividend = Divisor × Quotient. Teilen Sie gliedweise (oder nutzen Sie das Horner-Schema mit r).

   x³ − 4x² + 6x − 3 = (x − 1)·(x² − 3x + 3), der Quotient ist also x² − 3x + 3.

Typische Fehler

• Einen Platzhalter für eine fehlende Potenz vergessen.
• Nur den ersten Term statt des ganzen Produkts abziehen.
• Vorzeichenfehler beim Abziehen eines negativen Terms.

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