Gleichungen und Ungleichungen

Betragsgleichungen

Der Betrag |x| ist der Abstand von x zur Null und deshalb nie negativ. Gleichungen mit Betrag zerfallen in zwei Fälle.

Die Regeln

• |a| = a für a ≥ 0 und |a| = −a für a < 0.
• |x − c| = d mit d > 0 hat zwei Lösungen: x = c + d und x = c − d.
• |x − c| = d mit d < 0 hat keine Lösung.
• Bei schwereren Fällen jeden Fall einzeln lösen und nur Lösungen behalten, die im Bereich des Falls liegen.

Übungsaufgaben mit Lösung

Erzeugt von derselben Aufgaben-Engine wie der Kollego-Kurs, ohne Taschenrechner lösbar. Überlege dir eine Antwort und öffne dann die Lösung.

1. 1. Lösen Sie |x| < 6. Wie breit ist das Lösungsintervall?

   • a12
   • b6
   • c11
   • d13
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   Antwort: 12

   |x − a| < b bedeutet a − b < x < a + b, ein Intervall der Breite 2b.

   Lösung: -6 < x < 6. Breite = 6 − (-6) = 12.

2. 2. Lösen Sie |x + 9| = 3. Geben Sie die kleinere Lösung an.

   • a-11
   • b-12
   • c-13
   • d-6
   Lösung anzeigen

   Antwort: -12

   |x − a| = b bedeutet x − a = b oder x − a = −b, also x = a + b oder x = a − b.

   x + 9 = + 3 oder x + 9 = − 3 → x = -6 oder x = -12.

3. 3. Lösen Sie |x + 5| = 6. Wie groß ist die Summe der beiden Lösungen?

   • a-10
   • b-11
   • c12
   • d-9
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   Antwort: -10

   |x − a| = b hat zwei Lösungen, a + b und a − b, symmetrisch um a; ihre Summe ist 2a.

   x = -5 + 6 oder x = -5 − 6, also x = 1 oder x = -11. Summe = -10.

4. 4. Lösen Sie |x − 6| = 5. Wie groß ist die Summe der beiden Lösungen?

   • a11
   • b12
   • c13
   • d10
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   Antwort: 12

   |x − a| = b hat zwei Lösungen, a + b und a − b, symmetrisch um a; ihre Summe ist 2a.

   x = 6 + 5 oder x = 6 − 5, also x = 11 oder x = 1. Summe = 12.

5. 5. Lösen Sie |x − 3| < 7. Was ist die (nicht enthaltene) obere Grenze des Lösungsintervalls?

   • a-4
   • b10
   • c7
   • d3
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   Antwort: 10

   |x − a| < b means a − b < x < a + b.

   -4 < x < 10, die obere Grenze ist also 10.

6. 6. Lösen Sie |x − 9| < 6. Was ist die (nicht enthaltene) obere Grenze des Lösungsintervalls?

   • a9
   • b15
   • c6
   • d3
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   Antwort: 15

   |x − a| < b means a − b < x < a + b.

   3 < x < 15, die obere Grenze ist also 15.

Typische Fehler

• Nur eine der beiden Lösungen angeben.
• Eine Lösung behalten, die nicht im Bereich ihres Falls liegt.
• Vergessen, dass ein Betrag keine negative Zahl sein kann.

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