Gleichungen und Ungleichungen

Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen brauchen einen Schritt mehr als andere Gleichungen: Quadrieren kann Lösungen erzeugen, die keine echten Lösungen sind. Prüfe also jedes Ergebnis.

Die Regeln

• Zuerst die Wurzel auf einer Seite isolieren.
• Beide Seiten quadrieren: (√a)² = a.
• Die entstandene Gleichung lösen.
• Jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung prüfen und Scheinlösungen streichen.

Übungsaufgaben mit Lösung

Erzeugt von derselben Aufgaben-Engine wie der Kollego-Kurs, ohne Taschenrechner lösbar. Überlege dir eine Antwort und öffne dann die Lösung.

1. 1. Lösen Sie nach x auf: √(3x − 5) = 2

   • a2
   • b4
   • c-3
   • d3
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   Antwort: 3

   Quadrieren Sie beide Seiten, um die Wurzel zu beseitigen, und isolieren Sie dann x. Die rechte Seite ist hier schon ≥ 0, daher entsteht beim Quadrieren keine Scheinlösung. Prüfen Sie aber immer, dass der Term unter der Wurzel für Ihre Lösung ≥ 0 ist.

   Beide Seiten quadrieren: 3x − 5 = 2² = 4. x = (4 + 5) / 3 = 3. Probe: 3(3) − 5 = 4 = 2², und √4 = 2 ✓.

2. 2. Lösen Sie nach x auf: √(2x + 29) = 5

   • a-1
   • b-2
   • c-3
   • d2
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   Antwort: -2

   Quadrieren Sie beide Seiten, um die Wurzel zu beseitigen, und isolieren Sie dann x. Die rechte Seite ist hier schon ≥ 0, daher entsteht beim Quadrieren keine Scheinlösung. Prüfen Sie aber immer, dass der Term unter der Wurzel für Ihre Lösung ≥ 0 ist.

   Beide Seiten quadrieren: 2x + 29 = 5² = 25. x = (25 − 29) / 2 = -2. Probe: 2(-2) + 29 = 25 = 5², und √25 = 5 ✓.

3. 3. Lösen Sie nach x auf: √(3x + 9) = 3

   • a2
   • b1
   • c0
   • d-1
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   Antwort: 0

   Quadrieren Sie beide Seiten, um die Wurzel zu beseitigen, und isolieren Sie dann x. Die rechte Seite ist hier schon ≥ 0, daher entsteht beim Quadrieren keine Scheinlösung. Prüfen Sie aber immer, dass der Term unter der Wurzel für Ihre Lösung ≥ 0 ist.

   Beide Seiten quadrieren: 3x + 9 = 3² = 9. x = (9 − 9) / 3 = 0. Probe: 3(0) + 9 = 9 = 3², und √9 = 3 ✓.

4. 4. Lösen Sie nach x auf: √(2x + 18) = 4

   • a0
   • b-2
   • c-1
   • d1
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   Antwort: -1

   Quadrieren Sie beide Seiten, um die Wurzel zu beseitigen, und isolieren Sie dann x. Die rechte Seite ist hier schon ≥ 0, daher entsteht beim Quadrieren keine Scheinlösung. Prüfen Sie aber immer, dass der Term unter der Wurzel für Ihre Lösung ≥ 0 ist.

   Beide Seiten quadrieren: 2x + 18 = 4² = 16. x = (16 − 18) / 2 = -1. Probe: 2(-1) + 18 = 16 = 4², und √16 = 4 ✓.

5. 5. Lösen Sie nach x auf: √(2x + 44) = 6

   • a-4
   • b-3
   • c4
   • d-5
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   Antwort: -4

   Quadrieren Sie beide Seiten, um die Wurzel zu beseitigen, und isolieren Sie dann x. Die rechte Seite ist hier schon ≥ 0, daher entsteht beim Quadrieren keine Scheinlösung. Prüfen Sie aber immer, dass der Term unter der Wurzel für Ihre Lösung ≥ 0 ist.

   Beide Seiten quadrieren: 2x + 44 = 6² = 36. x = (36 − 44) / 2 = -4. Probe: 2(-4) + 44 = 36 = 6², und √36 = 6 ✓.

6. 6. Lösen Sie nach x auf: √(2x + 34) = 6

   • a-1
   • b1
   • c0
   • d2
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   Antwort: 1

   Quadrieren Sie beide Seiten, um die Wurzel zu beseitigen, und isolieren Sie dann x. Die rechte Seite ist hier schon ≥ 0, daher entsteht beim Quadrieren keine Scheinlösung. Prüfen Sie aber immer, dass der Term unter der Wurzel für Ihre Lösung ≥ 0 ist.

   Beide Seiten quadrieren: 2x + 34 = 6² = 36. x = (36 − 34) / 2 = 1. Probe: 2(1) + 34 = 36 = 6², und √36 = 6 ✓.

Typische Fehler

• Quadrieren, bevor die Wurzel isoliert ist.
• Eine Summe wie ein Produkt quadrieren: (a + b)² braucht die binomische Formel.
• Die Probe auslassen und eine Scheinlösung behalten.

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