Mathematik und Statistik: Übungs-Testlets für den TestAS

Wird ein Gegenstand unter Beibehaltung seiner Form vergrößert oder verkleinert, ändern sich nicht alle seine Abmessungen im selben Verhältnis. Wird jede Länge mit einem Maßstabsfaktor k multipliziert, wird jede Fläche, etwa eine Oberfläche oder ein Querschnitt, mit k² multipliziert und jedes Volumen mit k³. Da die Masse bei gleichem Werkstoff proportional zum Volumen ist, wächst auch die Masse mit k³. Dieser seit Galilei bekannte Zusammenhang heißt Quadrat-Kubik-Gesetz.

Länge × k Fläche × k² Volumen und Masse × k³ Spannung = Kraft ÷ Fläche ∝ k³ ÷ k² = k

Das Gesetz hat wichtige Folgen in Technik und Biologie. Die Last auf einem tragenden Querschnitt, etwa einem Bein, einer Säule oder einem Balken, wächst mit dem Gewicht, also mit k³, der Querschnitt selbst aber nur mit k². Die Spannung im Werkstoff wächst daher proportional zu k. Eine Statue, die aus demselben Werkstoff um den Faktor zwei vergrößert wird, erfährt in ihren Beinen die doppelte Spannung. Weit genug vergrößert, würde jede Konstruktion unter ihrem eigenen Gewicht zusammenbrechen, weshalb riesige Tiere unverhältnismäßig dicke Beine haben müssen und die Höhe von Gebäuden aus einem bestimmten Werkstoff begrenzt ist.

Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen nimmt ab, wenn Gegenstände wachsen: Es ist proportional zu 1/k. Kleine Gegenstände haben im Verhältnis zu ihrem Volumen eine große Oberfläche, große eine kleine. Das erklärt, warum kleine Tiere schnell Wärme verlieren und im Verhältnis zu ihrer Masse viel fressen müssen, warum feine Pulver viel schneller brennen oder sich lösen als Brocken und warum große Motoren und große Gebäude energieeffizienter sein können als kleine.

Ingenieure verwenden maßstäbliche Modelle in Windkanälen und Schlepptanks, müssen das Quadrat-Kubik-Gesetz aber berücksichtigen, wenn sie Ergebnisse auf den Gegenstand in voller Größe übertragen. Die Farbe für einen Schiffsrumpf wächst mit der Oberfläche, die Verdrängung des Schiffs mit seinem Volumen. Die Fragen beziehen sich auf eine Statue und auf ein Schiffsmodell im Maßstab 1:50, beide aus denselben Werkstoffen wie die Originale. Effekte wie die Dicke der Farbschicht werden vernachlässigt.

Technische Daten werden oft in Einheiten angegeben, die in der Praxis bequem sind, aber nicht in den Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems (SI). Vor dem Rechnen sollten alle Größen in zueinander passende Einheiten umgerechnet werden, meist Meter, Kilogramm, Sekunden und die davon abgeleiteten Einheiten wie Newton, Joule, Watt und Pascal. Fehler bei der Einheitenumrechnung gehören zu den häufigsten Ursachen falscher Ergebnisse und haben in einigen berühmten Fällen ganze Projekte zerstört.

Eine zuverlässige Methode ist die Multiplikation mit Brüchen, die gleich eins sind. Da 1 Stunde 3 600 Sekunden entspricht, ist der Bruch 1 h ÷ 3 600 s gleich eins, und die Multiplikation damit ändert die Einheit, ohne die Größe zu ändern. Für Geschwindigkeiten ergibt sich die Regel, dass ein Wert in km/h durch 3,6 geteilt wird, um m/s zu erhalten. Für Energie gilt: Eine Kilowattstunde sind 1 000 Watt für 3 600 Sekunden, also 3 600 000 Joule oder 3,6 Megajoule.

1 kWh = 3,6 MJ 1 bar = 100 000 Pa = 100 kPa 1 L = 1 dm³ = 0,001 m³ 1 m/s = 3,6 km/h 1 mm² = 10⁻⁶ m²

Flächen und Volumina erfordern besondere Sorgfalt, weil der Umrechnungsfaktor quadriert oder hoch drei genommen wird. Ein Meter sind 1 000 Millimeter, also ist ein Quadratmeter 1 000 000 Quadratmillimeter und ein Kubikmeter 1 000 000 000 Kubikmillimeter. Ein Liter ist ein Kubikdezimeter, ein Tausendstel Kubikmeter. Druck wird oft in bar angegeben, besonders bei Reifen und Hydraulikanlagen; ein bar entspricht 100 000 Pascal, ungefähr dem Luftdruck auf Meereshöhe. Die Dichte wird oft in Gramm pro Kubikzentimeter angegeben; da ein Kubikmeter eine Million Kubikzentimeter enthält und ein Kilogramm tausend Gramm hat, entspricht 1 g/cm³ genau 1 000 kg/m³.

Verbrauchsangaben lassen sich in zwei Richtungen ausdrücken. Der Kraftstoffverbrauch wird in Europa meist in Litern je 100 Kilometer angegeben, in anderen Ländern dagegen die Strecke je Kraftstoffeinheit, etwa Kilometer je Liter oder Meilen je Gallone. Beide sind Kehrwerte: Ein hoher Wert der einen Größe bedeutet einen niedrigen der anderen. Nach dem Umrechnen hilft eine schnelle Plausibilitätsprüfung: Ein Ergebnis, nach dem ein Auto in der Stadt mit 300 m/s fährt oder ein Wasserkocher eine Megawattstunde verbraucht, sollte neu berechnet werden. Die Einheiten neben jede Zahl einer Rechnung zu schreiben und sie wie algebraische Faktoren zu kürzen, ist der einfachste Weg, solche Fehler früh zu erkennen.