Technische Mechanik: Übungs-Testlets für den TestAS

Die Statik untersucht ruhende Körper. Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: Die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte ist null, sodass er sich nicht in Bewegung setzt, und die Summe aller Momente um einen beliebigen Punkt ist null, sodass er nicht zu drehen beginnt. Mit diesen beiden Bedingungen berechnen Ingenieure unbekannte Auflagerkräfte an Brücken, Regalen, Kränen und Trägern.

ΣF = 0 ΣM = 0 Moment M = F·d

Betrachtet wird ein waagerechter Träger auf zwei Auflagern, A am linken und B am rechten Ende. Lasten wirken nach unten, und die Auflager drücken mit den Auflagerkräften F_A und F_B nach oben. Um F_B zu bestimmen, bildet man zweckmäßig die Momente um A: Die unbekannte Kraft F_A hat dann keinen Hebelarm und fällt aus der Gleichung heraus. Das Moment von F_B um A muss die Momente aller Lasten um A ausgleichen. Ist F_B bekannt, folgt F_A aus dem Kräftegleichgewicht: F_A + F_B ist gleich der Gesamtlast.

Auch das Eigengewicht des Trägers wirkt als Last. Bei einem gleichmäßigen Träger kann man es als eine einzige Kraft in der Trägermitte behandeln.

Zur Kontrolle: Eine Last genau in der Mitte eines Trägers wird gleichmäßig auf beide Auflager verteilt, und eine Last direkt über einem Auflager wird vollständig von diesem Auflager getragen. Je näher eine Last an einem Auflager liegt, desto größer ist der Anteil, den dieses Auflager trägt.

Ingenieure nutzen solche Rechnungen, um Auflager, Lager und Fundamente ausreichend zu bemessen und sicherzustellen, dass kein Auflager ziehen statt drücken muss, was ein einfaches aufliegendes Lager nicht kann.

Dasselbe Verfahren gilt für komplexere Tragwerke wie Fachwerke, die Knoten für Knoten untersucht werden, und für Kragträger, die nur an einem Ende eingespannt sind und bei denen die Einspannung sowohl eine Kraft als auch ein Moment aufnehmen muss. Ein mit Konsolen an der Wand befestigtes Regal ist ein einfaches Beispiel: Die Konsolen müssen die Drehwirkung der Last ebenso aufnehmen wie ihr Gewicht.

Eine Kraft kann einen Körper um eine Achse drehen. Die Drehwirkung heißt Drehmoment und ist gleich der Kraft mal dem senkrechten Abstand zwischen der Wirkungslinie der Kraft und der Achse, dem Hebelarm. Das Drehmoment wird in Newtonmeter (N·m) gemessen.

M = F·r Gleichgewicht: Summe der rechtsdrehenden Momente = Summe der linksdrehenden Momente

Werkzeuge nutzen diesen Zusammenhang. Ein Schraubenschlüssel dreht eine Schraube: Je länger der Schlüssel, desto kleiner die Kraft, die für ein bestimmtes Drehmoment nötig ist. Schrauben an Motoren und Rädern müssen mit einem vorgeschriebenen Drehmoment angezogen werden, denn zu wenig Drehmoment lässt die Verbindung locker werden, und zu viel kann die Schraube dehnen oder abreißen. Deshalb verwenden Mechaniker einen Drehmomentschlüssel, der das aufgebrachte Drehmoment anzeigt oder begrenzt. Eine schräg angreifende Kraft wirkt schwächer: Nur die Komponente senkrecht zum Schlüssel trägt zum Drehmoment bei.

Krane veranschaulichen das Momentengleichgewicht im großen Maßstab. Ein Mobilkran hebt eine Last am Ende eines langen Auslegers. Die Gewichtskraft der Last erzeugt ein Moment um die Kante, über die der Kran kippen würde, die Kippkante. Um das Kippen zu verhindern, trägt der Kran auf der Gegenseite ein Gegengewicht, und seine Abstützungen werden ausgefahren, um die Kippkante nach außen zu verlegen. Der Kran ist standsicher, solange das Moment des Gegengewichts und des Eigengewichts um die Kippkante größer ist als das Moment der Last.

Weil das Moment der Last mit ihrem Abstand von der Kippkante wächst, kann ein Kran schwere Lasten nahe an seiner Basis heben, bei voller Ausladung aber nur leichtere. Jeder Kran hat daher eine Traglasttabelle, die für jede Ausladung die zulässige Last angibt, und moderne Krane haben eine Lastmomentbegrenzung, die die Bewegung stoppt, wenn die Grenze erreicht wird. In den folgenden Rechnungen werden das Gewicht des Krans selbst und des Auslegers vernachlässigt, und ein Sicherheitszuschlag ist nicht enthalten.