Geometrie

Kreis

Kreisaufgaben verbinden Flächenformeln mit Winkelsätzen. München nennt den Kreis für den Aufnahmetest im T-Kurs.

München Im Mathetest für den T-Kurs am Studienkolleg München genannt. Quelle

Die Regeln

• Bogenlänge b = (α/360°) · 2πr; Sektorfläche A = (α/360°) · πr².
• Ein Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
• Thales: Ein Winkel im Halbkreis ist 90°.
• Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius.

Übungsaufgaben mit Lösung

Erzeugt von derselben Aufgaben-Engine wie der Kollego-Kurs, ohne Taschenrechner lösbar. Überlege dir eine Antwort und öffne dann die Lösung.

1. 1. Ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel stehen über demselben Kreisbogen. Der Mittelpunktswinkel beträgt 120°. Wie groß ist der Umfangswinkel?

   • a70
   • b55
   • c120
   • d60
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   Antwort: 60

   Umfangswinkelsatz: Ein Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.

   120 / 2 = 60.

2. 2. Ein Kreis hat den Radius 6. Ein Kreisbogen gehört zum Mittelpunktswinkel 90°. Wie lang ist der Bogen, als Vielfaches von π? (Beispiel: Bogenlänge 3π ergibt die Antwort 3)

   • a3
   • b2
   • c15
   • d4
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   Antwort: 3

   Bogenlänge = (α/360) × 2πr.

   (90/360) × 2π×6 = 3π.

3. 3. Ein Kreisring liegt zwischen zwei Kreisen mit demselben Mittelpunkt, Radius 7 cm und 4 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt, als Vielfaches von π? (z. B. 12π cm² → 12)

   • a6
   • b9
   • c65
   • d33
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   Antwort: 33

   Kreisring = große Kreisfläche minus kleine: π(R² − r²), nicht π(R − r)².

   π(7² − 4²) = π(49 − 16) = 33π.

4. 4. Ein Kreis hat den Radius 3. Ein Kreissektor hat den Mittelpunktswinkel 120°. Wie groß ist die Sektorfläche, als Vielfaches von π? (Beispiel: Fläche 5π ergibt die Antwort 5)

   • a2
   • b5
   • c12
   • d3
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   Antwort: 3

   Sektorfläche = (α/360) × πr².

   (120/360) × π×3² = (120/360) × 9π = 3π.

5. 5. Ein Kreis hat den Radius 2. Ein Kreissektor hat den Mittelpunktswinkel 180°. Wie groß ist die Sektorfläche, als Vielfaches von π? (Beispiel: Fläche 5π ergibt die Antwort 5)

   • a18
   • b1
   • c4
   • d2
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   Antwort: 2

   Sektorfläche = (α/360) × πr².

   (180/360) × π×2² = (180/360) × 4π = 2π.

6. 6. Ein Kreis hat den Radius 4. Ein Kreisbogen gehört zum Mittelpunktswinkel 90°. Wie lang ist der Bogen, als Vielfaches von π? (Beispiel: Bogenlänge 3π ergibt die Antwort 3)

   • a22,5
   • b1,0
   • c3,0
   • d2,0
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   Antwort: 2,0

   Bogenlänge = (α/360) × 2πr.

   (90/360) × 2π×4 = 2π.

Typische Fehler

• Den Faktor α/360° vergessen.
• Den Umfangswinkel nehmen, wo der Mittelpunktswinkel gebraucht wird.
• Den Durchmesser als Radius in πr² einsetzen.

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