Rechnen und Terme

Logarithmus

Ein Logarithmus beantwortet eine Frage: Mit welcher Hochzahl muss ich die Basis potenzieren, um diese Zahl zu erhalten? log₂(8) = 3, weil 2³ = 8. Damit und mit drei Gesetzen löst du jede Logarithmusaufgabe im Aufnahmetest.

Die Regeln

• Definition: logₐ(x) = y heißt aʸ = x.
• Produkt: logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y); Quotient: logₐ(x/y) = logₐ(x) − logₐ(y).
• Potenz: logₐ(xⁿ) = n · logₐ(x).
• logₐ(1) = 0 und logₐ(a) = 1; Basiswechsel: logₐ(x) = log(x) / log(a).

Übungsaufgaben mit Lösung

Erzeugt von derselben Aufgaben-Engine wie der Kollego-Kurs, ohne Taschenrechner lösbar. Überlege dir eine Antwort und öffne dann die Lösung.

1. 1. Berechnen Sie ohne Taschenrechner: log₅(√5)

   • a1,0
   • b0,5
   • c1,5
   • d2,0
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   Antwort: 0,5

   Eine Wurzel ist eine Potenz mit Bruchexponent: ᵏ√(aⁿ) ist a hoch n/k, und logₐ(aˣ) = x.

   √5 = 5^(1/2) ⇒ log_5 = 0,5.

2. 2. Berechnen Sie ohne Taschenrechner: log₂(√32)

   • a0,4
   • b10,0
   • c2,5
   • d5,0
   Lösung anzeigen

   Antwort: 2,5

   Eine Wurzel ist eine Potenz mit Bruchexponent: ᵏ√(aⁿ) ist a hoch n/k, und logₐ(aˣ) = x.

   √32 = 2^(5/2) ⇒ log_2 = 2,5.

3. 3. Berechnen Sie: log₂(4)

   • a3
   • b2
   • c4
   • d1
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   Antwort: 2

   logₐ(x) fragt: Mit welcher Zahl muss man a potenzieren, um x zu erhalten?

   2² = 4, also log₂(4) = 2.

4. 4. Berechnen Sie: log₁₀(100000)

   • a6
   • b4
   • c10
   • d5
   Lösung anzeigen

   Antwort: 5

   logₐ(x) fragt: Mit welcher Zahl muss man a potenzieren, um x zu erhalten?

   10⁵ = 100000, also log₁₀(100000) = 5.

5. 5. Berechnen Sie: log₅(625)

   • a3
   • b4
   • c125
   • d5
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   Antwort: 4

   logₐ(x) fragt: Mit welcher Zahl muss man a potenzieren, um x zu erhalten?

   5⁴ = 625, also log₅(625) = 4.

6. 6. Berechnen Sie: log₂(32)

   • a6
   • b4
   • c5
   • d2
   Lösung anzeigen

   Antwort: 5

   logₐ(x) fragt: Mit welcher Zahl muss man a potenzieren, um x zu erhalten?

   2⁵ = 32, also log₂(32) = 5.

Typische Fehler

• Eine Summe aufteilen: log(x + y) ist nicht log(x) + log(y).
• Vergessen, dass das Argument positiv sein muss.
• Basis und Argument in logₐ(x) verwechseln.

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