Rechnen und Terme

Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln sparen Zeit beim Ausmultiplizieren und sind der Schlüssel zum Faktorisieren und zur quadratischen Ergänzung.

Die Regeln

• Erste: (a + b)² = a² + 2ab + b².
• Zweite: (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Dritte: (a + b)(a − b) = a² − b².
• Rückwärts gelesen faktorisierst du: x² − 9 = (x + 3)(x − 3).

Übungsaufgaben mit Lösung

Erzeugt von derselben Aufgaben-Engine wie der Kollego-Kurs, ohne Taschenrechner lösbar. Überlege dir eine Antwort und öffne dann die Lösung.

1. 1. Berechnen Sie mit (x + 7)² = x² + 14x + 49 den Wert an der Stelle x = 2.

   • a18
   • b81
   • c53
   • d32
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   Antwort: 81

   (x + a)² = x² + 2ax + a².

   2² + 14·2 + 49 = 4 + 28 + 49 = 81.

2. 2. Berechnen Sie mit (x + 6)² = x² + 12x + 36 den Wert an der Stelle x = 3.

   • a18
   • b81
   • c45
   • d87
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   Antwort: 81

   (x + a)² = x² + 2ax + a².

   3² + 12·3 + 36 = 9 + 36 + 36 = 81.

3. 3. Multiplizieren Sie (x + 6)² aus. Welchen Koeffizienten hat x?

   • a12
   • b6
   • c13
   • d36
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   Antwort: 12

   (x + a)² = x² + 2ax + a².

   Das mittlere Glied ist 2·a·x = 12x.

4. 4. Berechnen Sie mit (x + 5)² = x² + 10x + 25 den Wert an der Stelle x = 4.

   • a81
   • b56
   • c18
   • d41
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   Antwort: 81

   (x + a)² = x² + 2ax + a².

   4² + 10·4 + 25 = 16 + 40 + 25 = 81.

5. 5. Multiplizieren Sie (x + 3)² aus. Welchen Koeffizienten hat x?

   • a7
   • b3
   • c9
   • d6
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   Antwort: 6

   (x + a)² = x² + 2ax + a².

   Das mittlere Glied ist 2·a·x = 6x.

6. 6. Berechnen Sie mit (x + 5)² = x² + 10x + 25 den Wert an der Stelle x = 3.

   • a16
   • b64
   • c34
   • d39
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   Antwort: 64

   (x + a)² = x² + 2ax + a².

   3² + 10·3 + 25 = 9 + 30 + 25 = 64.

Typische Fehler

• Den mittleren Term vergessen: (x + 3)² ist x² + 6x + 9, nicht x² + 9.
• Das Vorzeichen des mittleren Terms in der zweiten Formel falsch setzen.
• a² − b² in einem Bruch übersehen, den man kürzen könnte.

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