Mathematik und Statistik: Übungs-Testlets für den TestAS

Biologische Messungen streuen, daher werden Ergebnisse mit einem Maß für Streuung oder Unsicherheit angegeben. Zwei Maße werden in Abbildungen oft als Fehlerbalken gezeigt, und man darf sie nicht verwechseln. Die Standardabweichung (SD) beschreibt, wie stark einzelne Werte um den Mittelwert schwanken. Der Standardfehler des Mittelwerts (SEM) beschreibt, wie genau der Mittelwert selbst geschätzt ist; er ist die SD geteilt durch die Wurzel aus dem Stichprobenumfang n. Werden mehr Daten erhoben, bleibt die SD etwa gleich, der SEM aber schrumpft. Eine Abbildung sollte immer angeben, welches Maß ihre Fehlerbalken zeigen.

SEM = SD ÷ √n ungefähres 95-%-Konfidenzintervall: Mittelwert ± 2 × SEM

Ein 95-%-Konfidenzintervall gibt einen Bereich plausibler Werte für den wahren Mittelwert an. Bei ausreichend großen Stichproben reicht es etwa zwei Standardfehler zu beiden Seiten des Stichprobenmittelwerts. Würde dieselbe Studie viele Male wiederholt, enthielten etwa 95 % solcher Intervalle den wahren Mittelwert.

Um zu entscheiden, ob ein Unterschied zwischen Gruppen größer ist, als die zufällige Streuung erklären würde, verwenden Forschende Signifikanztests, etwa den t-Test zum Vergleich zweier Mittelwerte. Der Test geht von einer Nullhypothese aus, meist, dass es keinen echten Unterschied gibt. Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, einen mindestens so großen Unterschied wie den beobachteten zu erhalten, wenn die Nullhypothese wahr wäre. Liegt p unter einer vorab gewählten Schwelle, meist 0,05, heißt das Ergebnis statistisch signifikant. Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese wahr ist.

Statistische Signifikanz ist nicht dasselbe wie Bedeutsamkeit. Bei sehr großen Stichproben werden winzige Unterschiede signifikant; bei kleinen Stichproben können wichtige Wirkungen übersehen werden. Forschende berichten daher auch Effektgrößen und Konfidenzintervalle. Werden viele Tests durchgeführt, sind einige allein durch Zufall signifikant: Bei 20 unabhängigen Tests wahrer Nullhypothesen auf dem Niveau 0,05 ist im Mittel ein falsch positives Ergebnis zu erwarten.

Gute Praxis ist es, Stichprobenumfang, Hauptzielgröße und statistischen Test vor der Datenerhebung festzulegen und alle durchgeführten Tests zu berichten, nicht nur die signifikanten.

Ein t-Test zum Vergleich der beiden Gruppen ergibt p < 0,001.

Viele biologische Vorgänge ändern sich in gleichen Zeitabständen um einen konstanten Faktor statt um einen konstanten Betrag. Eine Bakterienpopulation, die sich alle 30 Minuten verdoppelt, wächst exponentiell: Nach 30 Minuten ist sie doppelt so groß, nach einer Stunde viermal, nach zwei Stunden sechzehnmal. Radioaktive Stoffe, Arzneimittel im Körper und Licht, das eine absorbierende Lösung durchquert, nehmen exponentiell ab: In jedem gleichen Zeitabschnitt geht derselbe Anteil verloren.

Kennt man die Verdopplungszeit Td, ist die Größe einer wachsenden Population nach der Zeit t die Anfangsgröße N0 multipliziert mit 2 hoch t geteilt durch Td. Bei Abnahme tritt die Halbwertszeit T½ an die Stelle der Verdopplungszeit, und die Basis ist ein Halb. Gleichwertig lässt sich exponentielle Änderung mit der natürlichen Basis e und einer Geschwindigkeitskonstante k schreiben; Verdopplungszeit und k hängen über Td = ln 2 ÷ k zusammen, wobei ln 2 etwa 0,693 ist.

Wachstum: N = N0 × 2^(t ÷ Td) Abnahme: N = N0 × (1/2)^(t ÷ T½) Td = ln 2 ÷ k ≈ 0,693 ÷ k

Exponentielles Wachstum wird leicht unterschätzt. Eine Seerose, die ihre Fläche jeden Tag verdoppelt und am Tag 30 den ganzen Teich bedeckt, bedeckte am Tag 29 nur die Hälfte und am Tag 20 etwa ein Tausendstel, da 2 hoch 10 gleich 1024 ist. Aus demselben Grund kann eine Epidemie, die sich alle drei Tage verdoppelt, innerhalb von Wochen von wenigen Fällen zu überwältigenden Zahlen anwachsen.

Keine reale Population kann lange exponentiell wachsen. Werden die Ressourcen knapp, verlangsamt sich das Wachstum. Eine Bakterienkultur in einem geschlossenen Kolben durchläuft eine Anlaufphase (lag-Phase), in der sich die Zellen anpassen, eine exponentielle (log-)Phase, eine stationäre Phase, in der sich Teilung und Absterben die Waage halten, und schließlich eine Absterbephase.

Exponentielle Daten werden oft mit logarithmischer senkrechter Achse dargestellt. In einer solchen halblogarithmischen Darstellung erscheint exponentielles Wachstum oder exponentielle Abnahme als Gerade, sodass sich Verdopplungszeiten leicht ablesen und Abweichungen erkennen lassen.

Dieselbe Mathematik beschreibt Geld, das mit Zinseszins wächst, und die Ausbreitung einer Infektion in ihrer frühen Phase. In jedem Fall gilt als nützliche Faustregel, dass sich eine Größe, die um r Prozent pro Zeiteinheit wächst, in etwa 70 ÷ r Zeiteinheiten verdoppelt.