Trigonometrie

Trigonometrische Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen haben in einem Intervall meist mehr als eine Lösung. München nennt sie für den Aufnahmetest im T-Kurs. Lerne also, alle Lösungen zu finden, nicht nur die erste.

München Im Mathetest für den T-Kurs am Studienkolleg München genannt. Quelle

Die Regeln

• sin x = a: Ist x₁ eine Lösung, ist 180° − x₁ die zweite in [0°; 360°).
• cos x = a: Ist x₁ eine Lösung, ist 360° − x₁ die zweite.
• tan x = a: Die Lösungen wiederholen sich alle 180°.
• Vielfache von 360° (bei tan 180°) addieren, um Lösungen in anderen Intervallen zu finden.

Übungsaufgaben mit Lösung

Erzeugt von derselben Aufgaben-Engine wie der Kollego-Kurs, ohne Taschenrechner lösbar. Überlege dir eine Antwort und öffne dann die Lösung.

1. 1. Lösen Sie cos(x) = √2/2: Wie lautet die kleinste Lösung mit 0° ≤ x < 360°?

   • a45
   • b315
   • c135
   • d15
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   Antwort: 45

   Nutzen Sie die bekannten Werte von cos an Standardwinkeln, um zu finden, wo cos(x) = √2/2 ist.

   x = 45° oder x = 315°; die kleinste ist 45°.

2. 2. Lösen Sie cos(x) = 1: Wie lautet die kleinste Lösung mit 0° ≤ x < 360°?

   • a-30
   • b90
   • c0
   • d180
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   Antwort: 0

   Nutzen Sie die bekannten Werte von cos an Standardwinkeln, um zu finden, wo cos(x) = 1 ist.

   x = 0°; die kleinste ist 0°.

3. 3. Wie viele Lösungen hat cos(2x) = 0 für 0° ≤ x < 360°?

   • a2
   • b4
   • c3
   • d5
   Lösung anzeigen

   Antwort: 4

   Faktorisieren (nie durch sin x oder cos x teilen, sonst gehen Lösungen verloren), oder u = 2x setzen und u über das doppelte Intervall laufen lassen.

   2x = 90°, 270°, 450°, 630° ⇒ x = 45°, 135°, 225°, 315°.

4. 4. Wie groß ist die Summe aller Lösungen von sin(x) = −√2/2 für 0° ≤ x < 360°?

   • a630
   • b540
   • c315
   • d225
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   Antwort: 540

   sin(x) = k hat im Allgemeinen zwei Lösungen in einer vollen Umdrehung (außer an den Extremwerten k = ±1).

   Lösungen: x = 225°, 315°. Summe = 540°.

5. 5. Lösen Sie sin(x) = 0: Wie lautet die kleinste Lösung mit 0° ≤ x < 360°?

   • a0
   • b90
   • c-30
   • d180
   Lösung anzeigen

   Antwort: 0

   Nutzen Sie die bekannten Werte von sin an Standardwinkeln, um zu finden, wo sin(x) = 0 ist.

   x = 0° oder x = 180°; die kleinste ist 0°.

6. 6. Wie viele Lösungen hat sin(2x) = 1/2 für 0° ≤ x < 360°?

   • a4
   • b3
   • c2
   • d5
   Lösung anzeigen

   Antwort: 4

   Faktorisieren (nie durch sin x oder cos x teilen, sonst gehen Lösungen verloren), oder u = 2x setzen und u über das doppelte Intervall laufen lassen.

   2x = 30°, 150°, 390°, 510° ⇒ x = 15°, 75°, 195°, 255°.

Typische Fehler

• Nur die Lösung des Taschenrechners angeben und die zweite übersehen.
• Die Symmetrie des Sinus für den Kosinus benutzen.
• Im Bogenmaß antworten, obwohl das Intervall in Grad gegeben ist.

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