Mathematik: Übungs-Testlets für den TestAS

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen mit demselben Faktor multipliziert wird. Eine Bakterienkultur, in der sich jede Zelle alle 20 Minuten teilt, verdoppelt ihre Größe alle 20 Minuten. Beginnend mit 500 Bakterien enthält sie nach 20 Minuten 1 000, nach 40 Minuten 2 000 und nach einer Stunde 4 000. Die Funktion, die dieses Wachstum beschreibt, hat die Variable im Exponenten.

N(t) = N₀·2^(t ÷ T_d) N(t) = N₀·aᵗ aᵗ = b lösen: t = log(b) ÷ log(a) 2¹⁰ = 1 024

Exponentielles Wachstum ist zunächst langsam und dann extrem schnell. Jede Verdopplung fügt so viel hinzu wie das gesamte bisherige Wachstum zusammen. Deshalb wird die frühe Phase einer Epidemie oder einer Kettenreaktion leicht unterschätzt. In Wirklichkeit setzt sich exponentielles Wachstum nie unbegrenzt fort: Bakterien gehen Nährstoffe und Platz aus, das Wachstum verlangsamt sich und folgt oft einer logistischen Kurve, die sich einem Höchstwert annähert. Dasselbe Modell mit einer Grenze beschreibt die Ausbreitung neuer Technologien und das Wachstum von Tierpopulationen in einem begrenzten Lebensraum.

Exponentielle Abnahme liegt vor, wenn eine Größe in gleichen Zeitabständen mit einem Faktor kleiner als eins multipliziert wird. Scheidet der Körper jede Stunde 20 Prozent eines Medikaments aus, bleiben nach jeder Stunde 80 Prozent übrig, und die Menge nach t Stunden ist die Anfangsmenge mal 0,8ᵗ. Nach drei Stunden bleiben 0,8 × 0,8 × 0,8 = 0,512, also 51,2 Prozent. Die Zeit, nach der die Hälfte übrig ist, heißt Halbwertszeit.

Um den Zeitpunkt zu finden, zu dem eine Exponentialfunktion einen bestimmten Wert erreicht, muss die Gleichung nach dem Exponenten aufgelöst werden, wofür man Logarithmen braucht. Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welcher Hochzahl muss man die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten? Weil 2¹⁰ = 1 024, ist der Logarithmus zur Basis 2 von etwa 1 000 ungefähr 10: Eine sich verdoppelnde Größe muss sich etwa zehnmal verdoppeln, um sich zu vertausendfachen. Auf einer logarithmischen Skala erscheint exponentielles Wachstum als Gerade, was es in Messdaten leicht erkennbar macht. Logarithmische Skalen werden daher für Fallzahlen in Epidemien, für Erdbebenstärken und für die Lautstärke von Schall in Dezibel verwendet. Ein Taschenrechner oder die Tabelle der Zweierpotenzen genügt, um die meisten Wachstums- und Abnahmezeiten ohne formalen Logarithmus abzuschätzen. Die Fragen beziehen sich auf die oben beschriebene Bakterienkultur und das Medikament.

Manche Formeln enthalten die Unbekannte in einem Exponenten oder in einem Kehrwert, und ihr Umstellen erfordert besondere Schritte. Die Zinseszinsformel K = K₀·(1 + p)ⁿ gibt das Endkapital K nach n Jahren bei einem als Dezimalzahl geschriebenen Zinssatz p an. Man kann ihr drei verschiedene Fragen stellen, die jeweils eine andere Umstellung erfordern.

Um das Endkapital zu bestimmen, verwendet man die Formel direkt. Um den Zinssatz zu bestimmen, der K₀ in n Jahren zu K werden lässt, teilt man zuerst durch K₀, was (1 + p)ⁿ = K ÷ K₀ ergibt, zieht dann die n-te Wurzel, was 1 + p = (K ÷ K₀)^(1/n) ergibt, und subtrahiert schließlich 1. Um die Zahl der Jahre zu bestimmen, steht die Unbekannte im Exponenten, und man braucht Logarithmen: Logarithmieren beider Seiten von (1 + p)ⁿ = K ÷ K₀ ergibt n·log(1 + p) = log(K ÷ K₀), also n = log(K ÷ K₀) ÷ log(1 + p).

K = K₀·(1 + p)ⁿ p = (K ÷ K₀)^(1/n) − 1 n = log(K ÷ K₀) ÷ log(1 + p) 1 ÷ R = 1 ÷ R₁ + 1 ÷ R₂ ⇒ R = R₁·R₂ ÷ (R₁ + R₂)

Kehrwertformeln treten bei parallel geschalteten Widerständen, bei Linsen und bei vielen Raten auf. Für zwei parallel geschaltete Widerstände gilt 1 ÷ R = 1 ÷ R₁ + 1 ÷ R₂. Addiert man die Brüche auf der rechten Seite, ergibt sich (R₁ + R₂) ÷ (R₁·R₂), und der Kehrwert beider Seiten ergibt R = R₁·R₂ ÷ (R₁ + R₂). Um den zweiten Widerstand für einen gewünschten Gesamtwert zu bestimmen, isoliert man zuerst seinen Kehrwert: 1 ÷ R₂ = 1 ÷ R − 1 ÷ R₁ = (R₁ − R) ÷ (R·R₁), also R₂ = R·R₁ ÷ (R₁ − R). Ein häufiger Fehler ist, von jedem Term einzeln den Kehrwert zu bilden, was nicht erlaubt ist: Der Kehrwert einer Summe ist nicht die Summe der Kehrwerte.

Wie immer sollte das Ergebnis geprüft werden, indem man es in die ursprüngliche Formel einsetzt und fragt, ob es plausibel ist. Der Gesamtwiderstand zweier parallel geschalteter Widerstände etwa muss immer kleiner sein als jeder der einzelnen Widerstände, weil der Strom zwei Wege statt einem hat.