Mathematik und Statistik: Übungs-Testlets für den TestAS

Einkommen gehören zu den wichtigsten und am häufigsten missverstandenen Wirtschaftsstatistiken. Die beiden üblichen Maße für die Mitte einer Verteilung, das arithmetische Mittel und der Median, können sich bei Einkommen stark unterscheiden. Das Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert, wenn alle Werte sortiert sind: Die Hälfte der Beobachtungen liegt darunter, die Hälfte darüber. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist der Median das Mittel der beiden mittleren Werte.

Einkommensverteilungen sind rechtsschief: Die meisten Menschen haben mittlere Einkommen, wenige sehr hohe. Diese wenigen hohen Werte ziehen das Mittel nach oben, beeinflussen den Median aber kaum. Das Mittel liegt daher meist deutlich über dem Median, und die Mehrheit verdient weniger als der Durchschnitt. Deshalb berichten statistische Ämter oft das Medianeinkommen, und der Median gilt als robust gegenüber Ausreißern. Zieht ein Milliardär in eine kleine Stadt, steigt das mittlere Einkommen der Stadt dramatisch, der Median ändert sich kaum.

Ein Maß für die Mitte allein beschreibt eine Verteilung nicht. Zwei Städte können dasselbe Medianeinkommen haben, obwohl die Einkommen in der einen alle nahe daran liegen und in der anderen stark schwanken. Streuungsmaße erfassen diesen Unterschied. Die Spannweite ist die Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert; sie hängt nur von zwei Beobachtungen ab und reagiert sehr empfindlich auf Ausreißer. Die Varianz ist der Mittelwert der quadrierten Abweichungen vom Mittel, die Standardabweichung ihre Wurzel, die dieselbe Einheit hat wie die Daten. Der Variationskoeffizient teilt die Standardabweichung durch das Mittel und macht die Streuung von Daten mit unterschiedlichen Einheiten oder Niveaus vergleichbar.

Mittel = Σx ÷ n Varianz = Σ(x − Mittel)² ÷ n Standardabweichung = √Varianz Variationskoeffizient = Standardabweichung ÷ Mittel

Die obige Formel teilt durch n und beschreibt die Daten selbst. Wird eine Stichprobe verwendet, um die Varianz einer größeren Grundgesamtheit zu schätzen, teilen Statistiker stattdessen durch n − 1, was einen etwas größeren Wert ergibt.

Die Tabelle zeigt die monatlichen Nettoeinkommen der fünf Beschäftigten eines kleinen Architekturbüros einschließlich des Inhabers.

Wirtschaftsnachrichten berichten ständig über Änderungen, und zwei verschiedene Begriffe werden leicht verwechselt. Eine prozentuale Änderung beschreibt, wie stark sich ein Wert im Verhältnis zu seinem Ausgangsniveau verändert hat. Eine Änderung in Prozentpunkten beschreibt die einfache Differenz zwischen zwei Werten, die selbst Prozentsätze sind. Erhöht eine Zentralbank ihren Zinssatz von 2 % auf 3 %, ist der Satz um einen Prozentpunkt gestiegen, aber um 50 Prozent, weil der neue Satz das Anderthalbfache des alten ist. Beide Aussagen sind richtig; nur müssen die Worte zur Rechnung passen.

prozentuale Änderung = (neuer Wert − alter Wert) ÷ alter Wert × 100

Prozentuale Änderungen sind nicht symmetrisch. Steigt ein Preis um 20 % und fällt dann um 20 %, kehrt er nicht auf sein Ausgangsniveau zurück: 100 werden zu 120, und 20 % von 120 sind 24, also endet der Preis bei 96, 4 % niedriger als zu Beginn. Der Grund ist, dass die zweite Änderung auf einer größeren Basis berechnet wird. Ebenso muss ein Aktienkurs, der um 50 % fällt, um 100 % steigen, um sich zu erholen.

Um eine Änderung umzukehren, muss man daher den neuen Wert als Basis nehmen. Ein Preis von 119 Euro einschließlich 19 % Mehrwertsteuer enthält einen Nettopreis von 100 Euro, da 119 ÷ 1,19 = 100. Die Steuer beträgt 19 Euro, das sind 19 % des Nettopreises, aber nur etwa 16 % des Bruttopreises. Ein häufiger Fehler ist, 19 % des Bruttopreises abzuziehen, was einen zu niedrigen Nettopreis ergibt.

Änderungen sollten auch vor dem Hintergrund ihrer Basis gelesen werden. Eine Partei, deren Stimmenanteil von 2 % auf 4 % steigt, hat ihre Unterstützung verdoppelt, ein Anstieg um 100 %, aber nur zwei Prozentpunkte gewonnen. Eine Steuer, deren Aufkommen um 50 % wächst, kann in absoluten Zahlen dennoch klein sein. Schlagzeilen wählen oft die Form, die dramatischer klingt, daher rechnen aufmerksame Leser zwischen beiden um.

Prozentuale Änderungen lassen sich auch verknüpfen. Zwei aufeinanderfolgende Erhöhungen um 10 % steigern einen Wert um 21 %, nicht um 20 %, weil die zweite Erhöhung auf den bereits höheren Wert angewandt wird. Aus demselben Grund ist ein Wert, der sich verdoppelt, um 100 % gestiegen, und ein Wert, der auf die Hälfte fällt, um 50 % gesunken, obwohl beide eine Änderung um den Faktor zwei beschreiben. Beim Vergleich von Änderungen ist es daher immer wichtig zu fragen, auf welche Basis sich jeder Prozentsatz bezieht.